Wanneer is het middelpunt van een figuur ook zijn symmetriemiddelpunt?

Antwoord

Beste Nathan,

Alles hangt af van wat je juist bedoelt met "middelpunt".

Een symmetriemiddelpunt van een figuur is een punt ten opzichte waarvan je de figuur kan puntspiegelen zodanig dat de figuur niet verandert. Dit betekent dat het beeld van de figuur na puntspiegeling samenvalt met de figuur. Een figuur kan meerdere symmetriemiddelpunten hebben.

Als je het hebt over diagonalen van een figuur, denk ik dat de figuren die je beschouwt veelhoeken zijn. Misschien zelfs vierhoeken omdat er anders meer dan 2 diagonalen kunnen zijn en die hoeven elkaar niet te snijden in eenzelfde punt. In het algemeen is het natuurlijk niet zo dat het snijpunt van de diagonalen een symmetriemiddelpunt is. Er zijn namelijk vierhoeken die helemaal geen symmetriemiddelpunt hebben. Denk bijvoorbeeld aan een echt trapezium (dat is een trapezium dat geen parallellogram is). Maar toch zullen de diagonalen elkaar snijden (in een punt dat dan geen symmetriemiddelpunt kan zijn).

Wat wel waar is, is het volgende: Als een vierhoek een symmetriemiddelpunt heeft, dan is dat het snijpunt van de diagonalen. We kunnen dit bewijzen door als volgt te redeneren. Noem een hoekpunt A. Het tegenoverliggende hoekpunt noemen we C en de andere twee geven we de namen B en D. Als M een symmetriemiddelpunt is, moet het puntspiegelbeeld van A t.o.v. M zeker een hoekpunt zijn. Dat kan niet anders dan C zijn. Bijgevolg ligt M op de diagonaal AC. Analoog ligt M op de diagonaal BD.

Dus is het antwoord op de vraag: in vierhoeken die een symmetriemiddelpunt bezitten, is het snijpunt van de diagonalen een symmetriemiddelpunt. Enkele voorbeelden van vierhoeken met een symmetriemiddelpunt zijn: een vierkant, een rechthoek, een ruit ... Je zal snel tot de conclusie komen dat dit allemaal parallellogrammen zijn.

Veel succes!