Hoe zet ik de poolcoördinaten van een kromme om?

Antwoord

De relaties tussen poolcoordiaten en carteische coordinaten zijn:

x = r cos th   en  y = r sin th

dus kan je  r vervangen door de wortel van x² + y², en th door arctan(y/x)

Dat laatste kan een probleem opleveren omdat arctangens geen onderscheid zal maken tussen een punt in het er eerste en het derde kwadrant, of een punt in het tweede of vierde.

Immers  arctan(y/x) = arctan(-y/-x)    en   arctan(-y/x) = arctan(y/-x)

Echter, je kan ook cos(th) omzetten in x/wortel(x² + y²) en sin(th) in y/(x² + y²)  en tan(th)  in y/x  (enzovoort voor cot, sec en csc) en dan heb je dat probleem niet. Voor heel wat van die typische functies in poolcoordinaten zal dit lukken. Het resultaat na omzetting in cartesische coordinaten zal bijna steeds een impliciete functe opleveren, dus een uitdrukking die je kan schrijven als  f(x,y) = 0 zonder dat je y of x eenduidig kan afzonderen tot een expliciete functie  y=f(x) of x=f(y)

Vb cardioide : r(t) = cos(2t)

     Dus r = cos²(t) - sin²(t)

     geeft uiteindelijk met bovenstaande substituties :  ( x²+ y²) ^3/2 = x² - y²

Vb trifolium  r = - cos(3t)   geeft uiteindelijk, nadat de cos(3t) is geschreven in functie van cos(t) en sin(t) :  ( x²+ y²) ² = - x (x² - 3y²)

Let er op dat er tijdens de omzetting geen stukken oplossingen bij gecreëerd worden.

- Dit gebeurt wel eens wanneer men beide leden van een vergelijking kwadrateert.

- Dit kan hier ook gebeuren omdat men bij functie in poolcoordinaten soms enkel positieve waarden van r(th) accepteert, terwijl de omzetting naar cartesische coordinaten ook stukken oplossing kan opleveren die in feite overeenstemmen met negatieve r(th)

Dit is bijvoorbeeld het geval in bovenstaande voorbeeld van de cardioide: de cartesische vorm bevat vier blaadjes, de polaire slechts twee indien men enkel r(th) >= 0 neemt.

Besluit: je zal heel wat functies in poolcoordinaten kunnen omzetten, maar bekijk toch steeds eens de twee grafieken