Zijn er uitzonderingen op de regel dat je irrationale getallen niet kan vermenigvuldigen met een natuurlijk getal zodat een natuurlijk getal wordt bekomen?

Antwoord

Beste Sebastiaan,

inderdaad, die limiet is 0, en dat is zo voor elk irrationaal getal (en natuurlijk ook voor elk rationaal getal, dus voor elk reëel getal). Je kan dit bijvoorbeeld inzien indien je aanneemt dat er bewezen is (wat wel zo is) dat elke sequentie van cijfers, hoe lang ook, voorkomt in de decimale schrijfwijze van pi. Je neemt dan als speciaal geval de sequentie bestaande uit allemaal nullen, van lengte n. Stel dat die voorkomt na de k-de decimaal. Vermenigvuldigen met m:=10^k geeft dan f_m kleiner dan 10^{-n}. Aangezien we dit kunnen doen voor elke n, is de limiet uiteindelijk 0, want we kunnen f_m willekeurig klein krijgen. In feite is, voor irrationale getallen, het nul zijn van jouw limiet equivalent met bewijzen dat elke sequentie van cijfers, hoe lang ook, steeds voorkomt, en dat is waar.

Je kan het ook anders en rechtstreeks bewijzen. Indien je details wenst, kan je me dat vragen, maar ruwweg gaat het zo: stel dat we het irrationaal getal x hebben. Voor elk natuurljk getal n, stel g(n)=nx-int(nx). Je kan gemakkelijk een natuurlijk getal n vinden waarvoor g(n)<1/2. Voor een unieke k geldt dat kg(n)<1 en (k+1)g(n)>1. Je ziet dan dat g(n(k+1))< g(n). Indien g(n(k+1))>g(n)/2, dan zie je in dat g(n(k+1)^2)=g(n)-2t, waarbij t=g(n)-g(n(k+1)). Zo verdergaand kunnen we een macht u kiezen met g(n(k+1)^u)<g(n)/2. Dus we kunnen g(n) halveren. Zo verdergaand convergeren we naar 0.

Ik hoop dat dit een beetje bergrijpbaar is.

vriendelijke groeten,
-- Hendrik Van Maldeghem