Hoe komt het dat de nuldemachtsverheffing altijd gelijk is aan 1?

Als je wat getallen opschrijft, zul je vlug merken dat a⁰ = 1 de enige logische keuze is om dit a⁰ te definiëren. Neem bijvoorbeeld machten van vijf:

5³ = 125

5² = 25

5¹ = 5

5⁰ = ?

5^-1 = 1/5

5^-2 = 1/25

enz.

In elke stap delen we door vijf (want dat is precies wat het betekent om de exponent met 1 te verlagen). Dan moeten we op de plaats van het vraagteken 1 invullen. Dit werkt trouwens niet alleen voor 5, maar ook voor alle andere getallen.

 

Als je de rekenregels wil redden die gelden bij het rekenen met machten, kun je er ook niet onderuit. Neem nu a^m · aⁿ = a^m+n. Neem je nu m = 0, dan vinden we dat a⁰ · aⁿ = aⁿ, dus daaruit zal ook volgen dat a⁰ precies 1 moet zijn, waarbij het niet uitmaakt hoeveel a is. Als a⁰ niet 1 zou zijn, dan zou die rekenregel niet meer kloppen...

 

Wat is daarvoor nu de achterliggende reden? Om 17⁰ te definiëren, moeten we ons afvragen wat de uitkomst is van de vermenigvuldiging met 0 factoren 17, eigenlijk een soort "leeg" product. Dat we dit zien als 1, komt omdat 1 het zogenaamde neutraal element is voor de vermenigvuldiging: 1·a = a = a·1, voor elk getal a. Het is het getal waarvan vermenigvuldiging ermee niets verandert, zeg maar. Elk product a·b·c kan je zien als 1·a·b·c . Als de lijst van factoren leeg is, dan blijft er gewoon 1 over.

 

Vergelijk het met vermenigvuldigen met nul: 0·17 is een schrijfwijze voor de som van 0 termen 17, zoals 3·17 de schrijfwijze is voor de som 17+17+17. Op die manier is 0·17 een soort "lege" som, en dan is het resultaat ook het neutraal element voor de optelling, en dat is 0, want 0+a = a = a+0.