Kan iemand de formule van Euler duidelijk bewijzen?

Antwoord

Ik heb  eens gesurfd vond een website met 20 bewijzen van de formule
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/
Sommige bewijzen vereisen nogal wat wiskunde, andere minder maar zijn doorgaans langer.
Het bewijs nr 6 vind ik het leukste

Maar ziehier een redenering dat geen extra wiskunde vereist, maar enkel geldig is voor de meest eenvoudige gevallen. We gaan er van uit dat het lichaam enkelvoudig samenhangend is. Het bestaat dus uit 1 stuk, en bevat geen doorboringen. Een torus voldoet dus niet.
De idee is dat we een aantal "bewerkingen" op een lichaam uitvoeren die de geldigheid van de formule niet aantasten. Dus je vertrekt van een lichaam L1 en je toont aan dat, als de formule geldt voor L1, dat de formule dan ook geldt voor het lichaam L2, het resultaat van de bewerking en omgekeerd. Zo gaan we een lichaam L herleiden  tot een gewone tetraëder, waarvoor de formule duidelijk juist is.  En omdat de gedane bewerkingen de geldigheid bewaren is de formule ook  geldig voor het oorspronkelijk lichaam.

Wat kunnen we zoal doen met het lichaam waarvan je vertrekt ?

Ten eerste elk zijvlak dat meer dan drie hoekpunten heeft verdeel je in driehoeken  door bestaande hoeken van het zijvlak  te verbinden. Dit kan je ook gebruiken om eventueel concave zijvlakken op te delen in driehoeken. Wat is het gevolg?
Als je  een verbinding tussen twee bestaande hoeken in een zijvlak verbindt heb je 1 ribbe toegevoegd, maar stijgt ook het aantal zijvlakken met 1, want je hebt een bestaand zijvlak in twee stukken gedeeld.
Neem nu de te bewijzen formule
Z + H = R + 2
Als de formule correct is in ons startlichaam blijft ze ook correct als je zo'n extra ribbe toevoegt want links en rechts in de formule komt er 1 bij.Omgekeerd, ook zo'n  zijde weer verwijderen behoudt de juistheid want er verdwijnt rechts 1 ribbe en links 1 zijvlak omdat je er in feite twee samenvoegt.
=> ons lichaam bestaat nu uit enkel driehoeken

Ten tweede. Neem nu een ribbe, en beweeg één hoekpunt naar het andere. We verliezen dan:
- één hoekpunt (want je legt er twee op dezelfde plaats)
- drie ribben (zie figuur: van 5 naar 2) 
- twee zijvlakken, namelijk de twee driehoeken die grenzen aan de verdwenen ribbe

Neem nu opnieuw de te bewijzen formule
Z + H = R + 2
Door deze actie gaat er links 3 af (2 zijvlakken + 1 hoekpunt) en rechts ook (3 ribben)
Dus als formule correct is voor het ene lichaam is ze ook correct voor het andere lichaam. Het geldt immers ook in de andere richting, door de hoekpunten die we juist hebben samengevoegd weer open te trekken

Tenslotte: verwijder zo genoeg hoekpunt tot je er nog 4 over hebt. Dan heb je een tetraëder, waarvan je weet dat de formule geldt.
4 zijvlakken + 4 hoeken = 6 ribben + 2
Ze geldt dus wegens de voorgaande bewerkingen ook voor het lichaam waarvan je vertrokken bent want alle lichamen zijn verbonden door acties die de geldigheid behouden.