Willekeurige hoeken construeren

Antwoord

Beste Bastiaan,

Ik denk niet dat het nodig is jouw constructie te laten natrekken. Je zegt dat je constructie nauwkeurig is tot op één graad, maar dus niet "precies"? In dit geval is er niets nieuws onder de zon. De preciese formulering van de stelling over de hoek van 20 graden luidt: Het is onmogelijk om theoretisch een hoek van 20 graden te construeren met alleen behulp van een passer en een lineaal (dit lineaal mag zelfs geen markeringen hebben!). En dat is een stelling, dat wil zeggen, er is niets aan te doen, het is zo. Indien je toch een nauwkeurige theoretische constructie zou vinden, dan heb je een fout gemaakt.

Maar je kan natuurlijk vele benaderingen construeren. Bijvoorbeeld, je kan een hoek wel nauwkeurig in twee delen verdelen, dus je kan achtereenvolgens construeren: 45 graden, 22,5 graden, 11,25 graden, 16,875 graden, en ten slotte (22,5+16,875)/2=19,6875, wat minder dan 1 graad verschilt van 20 graden.

Bovenstaande stelling is in feite een speciaal geval van de stellig die zegt dat je onmogelijk met passer en lineaal een gegeven doch willekeurige  hoek in drie gelijke delen kan delen (trisectie van een hoek), één van de drie beruchte Griekse constructieproblemen die inderdaad onmogelijk bleken. En het bewijs ervan argumenteert dat de cosinus van 20 graden een transcedent getal is, dat is een getal dat niet kan geschreven worden met behulp van gehele getallen, de vier hoofdbewerkingen, en n-de machtswortels. 

Vriendelijke groeten,

Hendrik Van Maldeghem