Als je tien keer een munt opgooit, hoe groot is de kans om minstens 2 keer na elkaar kop te gooien?

Antwoord

Beste Tim

Het is gemakkelijker om (eerst) na te gaan hoe het zit wanneer je nooit achtereenvolgens 'kop' gooit; de gezochte kans kan je dan hieruit berekenen, want dat is de complementaire kans.

Voor een klein aantal worpen kan je dat nog gemakkelijk handmatig tellen, maar dat wordt al snel ingewikkeld. Je kan het echter gemakkelijk recursief aanpakken. Als je n keer een munt opgooit, kunnen de volgende twee situaties zich voordoen met nooit twee keer na elkaar kop (ik noteer K voor kop en M voor munt):
(1) M, gevolgd door een reeks van n-1 worpen zonder achtereenvolgende worpen kop;
(2) KM, gevolgd door een reeks van n-2 worpen zonder achtereenvolgende worpen kop.

Aangezien dat de enige twee mogelijkheden zijn, is het aantal mogelijkheden om bij een reeks van n worpen nooit kop na elkaar te krijgen, de som van deze twee. Maar die som bevat datzelfde aantal mogelijkheden, maar dan voor de gevallen van n-1 en n-2 worpen.

In formulevorm: als a(n) het aantal mogelijkheden voorstelt om bij n worpen nooit achtereenvolgens kop te gooien, dan blijkt a(n) = a(n-1) + a(n-2) en dat is een recursief voorschrift voor de rij van Fibonacci. De begintermen haal je uit een klein aantal worpen; ga na dat a(1) = 2 en a(2) = 3. Het totaal aantal mogelijkheden bij n worpen is natuurlijk 2ⁿ, het quotiënt geeft de kans op nooit achtereenvolgens kop.

De gevraagde kans van minstens twee opeenvolgende worpen kop, is dan 1 min de hierboven berekende kans: 1 - F_n+2/2_ⁿ waarbij F_n+2 het n+2-de getal uit de rij van Fibonacci voorstelt. Voor n = 10 geeft dat een kans p = 1-F₁₂/2¹⁰ = 1 - 144/1024 = 1 - 9/64 = 55/64 = 0.859375.

Groeten
Tom