Komen de benamingen 'even' en 'oneven' (verwijzend naar de symmetrie t.o.v. van y-as/oorsprong) bij functies van de hoogstegraadsexponent bij veeltermfuncties?

Antwoord

Een functie is even als voor elke x in het domein f(-x) = f(x)
Voor veeltermen betekent dit concreet dat er enkel even machten van x kunnen inzitten, vandaar de benaming. Meetkundig betekent dit inderdaad een symmetrie tegenover de y-as

Een functie is even als voor elke x in het domein f(-x) = - f(x)
Voor veeltermen betekent dit concreet dat er enkel oneven machten van x kunnen inzitten, vandaar de benaming. Meetkundig betekent dit inderdaad een symmetrie tegenover (0,0)

Maar andere functies dan veeltermen kunnen ook even (of oneven zijn), als ze maar  voldoen aan bovenstaande voorwaarden  f(-x) = f(x)  of  f-x) = - f(x) voor elke x in het domein. Hun grafieken vertonen dan ook dezelfde symmetrieën.

Vb van even functie:  elke veelterm met enkel even machten, cosinus(x), 1 / (1+x^2),wortel(1+x^2)......,  elke even veelterm gedeeld door een even veelterm...elk veelvoud, som, verschil, product, deling van even functies

Vb van oneven functie: elke veelterm met enkelon even machten, sinus(x), tangens(x), x/wortel(1+x^2), ....... oneven veelterm gedeeld door oneven veelterm... veelvoud, som, verschil van oneven functies.

Een product van een oneven aantal oneven functies is ook oneven, maar een product van een even aantal oneven functies is zelf even. Een product van even functies is altijd even.

De meeste functies zijn noch even, noch oneven, maar je elke willekeurige functie steeds schrijven als de som van een even functie + een oneven functie. Dat is heel belangrijk in tal van concrete toepassingen. Dat gaat heel makkelijk! Neem een functie f(x)

dan is:  f(x) = [ f(x) + f(-x) ] / 2   +   [ f(x) - f(-x) ] / 2

dat is duidelijk.
Je ziet nu dat het eerste deel (tussen de linkse vierkante haakjes) even is, want als je daar x door -x vervangt verandert er niets aan de som tussen die linkse vierkante haakjes. Het tweede stuk is echter oneven want als ze daar x vervangt door -x  verandert dat stuk van teken.