Kan onze huidige derde dimesie niet de vierde dimensie zijn?

Antwoord

Een kubus heeft wel degelijk dimensie 3 en niet 4. We moeten natuurlijk eerst een goede definitie van het begrip dimensie geven. Dit kan bijvoorbeeld in het kader van vectorruimten, maar het volgende is ook leuk:

Stel dat je een lijnstuk neemt met lengte L, en je deelt het in 3, dan heb je drie kleinere kopijen van dat lijnstuk over. De dimensie van een lijnstuk is natuurlijk 1. Deze getallen voldoen aan:

deelfactor tot de macht dimensie = aantal kleinere kopijen

Neem nu een vierkant, gekenmerkt door de zijde L. Een  vierkant heeft dimensie 2. Neem L drie keer kleiner, hoeveel kleinere vierkanten passen dan in dat grote? Negen

opnieuw zie je dat bovenstaande formule klopt:

deelfactor (3 dus) tot de macht dimensie (2 dus) = aantal kleinere versies (9, het klopt)

Nu met een kubus, die we voor de verandering eens niet 3 maar 2 keer kleiner maken (het klopt voor gelijk welke factor hoor).
Als je de zijde van een kubus halveert en daarmee weer een kleinere kubus maakt, hoeveel keer past die kleine in de grote?  8 keer.

Inderdaad:  deelfactor(2) tot de macht dimensie (3) = aantal kleinere kopijen 8

Je ziet dat je zo konsistent over dimensies kan praten, en voor de kubus is de dimensie 3 (niet 4)
Je verkleint een object met een factor F en kijkt hoeveel keer N het kleinere in het  grotere past:

F^dim = N

Deze dimensie noemt men de Hausdorff dimensie.

Het leuke is dat dit ook toelaat niet-gehele dimensies te beschouwen. Objecten met niet-gehele dimensies  noemt men FRACTALEN.
Googel eens op:
Het verzameling van Cantor : dimensie is 0.63...
De kromme van Koch: 1.26...
Het tapijt van Sierpinski: dimensie is 1.98...
De spons van Menger: dimensie is 2.72...
(en geloof het of niet, maar fractalen hebben wel degelijk nuttige practische toepassingen!)