Vraag over taylorreeksen

Antwoord

Beste Adriaan,

Natuurlijk! De terminologie en de interpretatie verandert wel lichtjes. Je beschouwt dan een machtreeks voor de functie f:C->C rond een complex getal z=a. De uitbreiding van de Taylorreeks naar complexwaardige functies noemt men Laurentreeksen.

Laurentreeksen kunnen volgende voorschriften hebben:

(1) ∑^∞_n=0 a_n(z-a)ⁿ Voor dit geval vereenvoudigt de Laurentreeks zich tot een Taylorreeks. Dit is het geval indien het punt z=a voor de functie f een analytisch punt is. Dit betekent dat de complexwaardige functie differentieerbaar is in een omgeving van dit punt z=a. Differentieerbaarheid voor complexwaardige functies betekent in dit geval Differentieerbaarheid in "Cauchy-Riemann" -zin. Dit is een heel krachtige uitbreiding van het differentieerbaarheidsbegrip voor reële functies. Cauchy-Riemann differentieerbaarheid impliceert dat ALLE reële afgeleiden bestaan en continu zijn in dit punt.

(2) ∑^∞_n=-p a_n(z-a)ⁿ Voor dit geval spreekt men van de Laurentreeks voor de functie f(z) rond een "Pool" z=a van orde p. Een pool van orde p betekent dat:

- lim_z->af(z)=+-∞

- lim_z->af(z)(z-a)^r bestaat voor r≥p

(3) ∑^∞_n=-∞ a_n(z-a)ⁿ Voor dit geval spreekt men van de Laurentreeks voor de functie f(z) rond een "essentiële" singulariteit. Dit betekent dat de limiet NIET bestaat in het punt z=a voor de functie.

Het convergentiegebied is cirkelvormig in het complexe domein voor geval (1) voor gevallen (2) en (3) is het een donut. Het convergentiegebied is tussen twee concentrische cirkels rond het punt z=a. We moeten dus de straal bepalen voor geval (1) en de stralen voor geval (2) en (3). Ik zal mij voor de rest van dit antwoord beperken tot geval (1).

Stap 1: De straal wordt berekent aan de hand van de limiet:

R=lim_n->∞|a_n|/|a_n+1|

Stap 2: De rand van het gebied

Door de berekening van de straal weten we dat alle punten die strikt inwendig zijn aan de schijf met straal R. We moeten dus expliciet gaan onderzoeken wat er op die rand gebeurt. We doen dat door de substitutie z-a=Re^iθ met 0≤θ<2π. Die substitutie parametriseert de rand van de schijf rond het punt a met straal R.

We moeten dus nog de convergentie bepalen van de reeks:

∑^∞_n=0 a_ne^iθn

Abels convergentiecriterium impliceert nu dat indien de rij a_n een dalende rij is naar de limiet 0 deze reeks convergent is voor alle hoeken θ≠0. Indien de rij echter niet monotoon dalend is naar 0, moeten we de reeks opsplitsen in een som van reeksen waarvan de coëfficienten toch dalend zijn. Dit is uiteraard een moeilijkere situatie.

Stap 3: Onderzoek de hoek θ=0

∑^∞_n=0 a_n moet geanalyseerd worden via klassieke convergentiecriteria voor numerieke reeksen.

Voorbeeld:

∑^∞_n=1 3^-n/(n+1) zⁿ

Stap 1: Straal berekening

lim_n->∞ 3ⁿ⁺¹(n+2)/3ⁿ(n+1)=lim_n->∞3(n+2)/(n+1)=3

Stap 1 toont dat voor alle complexe getallen z binnen de schijf rond 0 met straal 3, de reeks convergent is.

Stap 2: De rand z=3e^iθ

 ∑^∞_n=1 3^-n/(n+1)zⁿ= ∑^∞_n=1 1/(n+1) e^iθn

Het criterium van Abel toont aan dat deze reeks convergeert voor alle hoeken θ≠2kπ

Stap 3: Hoek θ=2kπ

∑^∞_n=1 3^-n/(n+1)zⁿ= ∑^∞_n=1 1/(n+1)

Dit is de harmonische reeks en deze is dus divergent.

Het totale convergentiegebied is dus {z| |z|≤3}\{3} of de volledige schijf rond 0 met straal 3 inclusief de rand behalve het getal z=3.

Hopelijk beantwoordt dit je vraag.

Groeten,

Kurt.