Hoe bereken ik de oppervlakte van een cirkel aan de hand van integraal ydx?

Antwoord

Als je uit vergelijking van de cirkel y afzondert, verkrijg je twee mogelijke oplossingen:
y(x) = + wortel(R² - x²)
en
y(x) = - wortel(R² - x²)
De eerste mogelijkheid stemt overeen met de bovenkant, de tweede met de onderkant van de cirkel.

Bij dergelijke toepassingen van integralen probeert men steeds zoveel mogelijk rekening te houden met symmetrieën.
Dus, in plaats van de oppervlakte van de totale cirkel, berekenen we 4 keer de oppervlakte van het kwart cirkel in het eerste kwadrant. Dit ligt op de eerste formule met het plusteken.
Dus:

S= 4 integraal [ wortel(R² - x²) ]  dx    tussen x=0 en x=R

Deze integraal kunnen we makkelijk oplossen door substitutie x = R sin(t), zodat dx = R cos(t) dt
Dan krijg je

S = 4 integraal [ R²  cos²(t) ] dt    met t van  nul  tot  Pi/2

Vervolgens, met cos2(t) = 0.5 (1 + cos(2t) )

vind je

S = 2R² integraal ( 1 + cos(2t))   tussen t = 0 en Pi/2

Dus, na oplossing van de integraal:

S= 2R² [ t + 0.5 sin(2t) ]   tussen 0 en Pi/2

de sinus geeft in beide grenzen nul,

zodat   S = pi R²