Het probleem is dat ik twee verschillende uitkomsten krijg op twee verschillende manieren, en ik zie niet meteen in waarom de ene manier juist zou zijn en de andere fout...
Wil men bijvoorbeeld de integraal van cos(x)^3*sin(x)^5 berekenen, dan kan dit door 1 maal sin(x) achter de differentiaal te brengen als -d(cosx), de integraal kan dan geschreven worden als int cos(x)^3 *(1-cos(x)^2)^2 * -d(cosx) en verder uitwerken geeft als resultaat (-cos(x)^4)/4 + (cos(x)^6)/3 - (cos(x)^8)/8 + constante.
Het lijkt mij even logisch en zelfs iets eenvoudiger om i.p.v 1 maal sinx, 1 maal cosx achter de differentiaal te brengen als d(sinx). De integraal kan dan geschreven worden als int sin(x)^5 *(1-sin(x)^2) *d(sinx) en dit geeft als resultaat (sin(x)^6)/6 - (sin(x)^8)/8 + constante.
Maar als ik deze twee uitkomsten nu plot krijg ik twee verschillende grafieken, dus waar is het dan fout gegaan?
Beste Ruth
Je hebt de integraal op twee manieren correct berekend, dus ze zijn allebei juist! De reden waarom we die integratieconstante (+C) schrijven, is omdat een primitieve functie niet uniek is en met die C erbij hebben we ze 'allemaal'. Maar als je de integraal op verschillende manieren bepaalt, dan kunnen die C's die we noteren ook verschillend zijn.
Misschien wordt dat duidelijk met een eenvoudiger voorbeeld. Voor de onbepaalde integraal van (x+1)² zou je via een kleine substitutie onmiddellijk (x+1)³/3 + C1 vinden, of uitgewerkt x³/3+x²+x+1/3+C1.
Maar als je eerst de haakjes uitwerkt tot x²+2x+1 en dan pas integreert, vind je x³/3+x²+x+C2. De uitkomsten lijken verschillend, maar zijn het niet: de ene C is gewoon de andere niet, maar C2 = C1+1/3.
Die C's stellen eender welk reëel getal voor, dus er een constante bij optellen verandert niets aan de hele verzameling van primitieve functies.
Hetzelfde doet zich bij jouw opgave voor: de functies die je plot zijn gelijk, op een constante na. Ze verschillen namelijk 1/24 (je zou dat met wat goniometrische formules kunnen controleren door ze van elkaar af te trekken en te vereenvoudigen) waardoor de grafieken ook hetzelfde zijn, op een verticale verschuiving over 1/24 na (zie bijgevoegde afbeelding, klik voor een vergroting).
Wat je uiteraard bij twijfel ook steeds kan doen, is beide resultaten terug afleiden en verifiëren dat je de oorspronkelijke integrand terugvindt.
Groeten
Tom
Er zijn nog geen reacties op deze vraag.
Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.
© 2008-2025
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door Eos wetenschap. Voor vragen over het platform kan je terecht bij liam.verbinnen@eos.be
