Waarom is 1^oneindig een onbepaaldheid?

Antwoord

Beste Loïc

Met dat 'logisch nadenken' moet je voorzichtig zijn. Op dezelfde manier zou je van 0/0 misschien kunnen zeggen dat het 1 moet zijn, want 'een getal delen door zichzelf' is toch 1? Dat is ook zo, behalve bij 0. Je hebt gelijk dat 1^x altijd gelijk is aan 1, voor eender welk reëel getal x. Maar met oneindig wordt het weer wat ingewikkelder.

Het begrip 'onbepaaldheid' hangt nauw samen met limieten. Zo noemen we 0/0 een onbepaaldheid omdat je functies f en g kan vinden waarvoor zowel f(x) als g(x) naar 0 gaan, maar waarbij f(x)/g(x) verschillende limieten heeft voor verschillende keuzes van f en g. Ga maar eens na voor f(x) = x² en g(x) de ene keer x en de andere keer x³, telkens limieten voor x naar 0. Alles hangt dus af van 'hoe' je tot die 0 in de teller en de 0 in de noemer komt.

Hetzelfde doet zich voor bij de vorm 1^+∞; het hangt dus af van waar die 1 en waar die +∞ vandaan komt. Je kan namelijk functies f en g vinden waarbij f(x) naar 1 gaat en g(x) naar +∞, maar waarbij f(x)^g(x) toch verschillende limieten heeft. Precies daarom noemen we ook dit een onbepaaldheid. Ik zal twee voorbeelden geven van functies waarbij de limiet verschillend zal blijken te zijn.

Met f(x) = 1 en g(x) = x gaat f(x) naar 1 en g(x) naar +∞ voor x naar +∞; f(x)^g(x) is in dit geval 1^x en dat heeft als limiet 1 voor x naar +∞.

Echter met f(x) = 1+1/x en g(x) = x gaat f(x) weer naar 1 en g(x) ook weer naar +∞ voor x naar +∞; maar f(x)^g(x) is in dit geval (1+1/x)^x en daarvan heb je misschien al gezien dat de limiet (het getal) e (= 2,718...) is voor x naar +∞.

Twee keer krijgen we de vorm 1^+∞, maar de limieten zijn verschillend. En het is mogelijk om nog andere uitkomsten (limieten) te krijgen, door andere functies voor f en g te kiezen. Je kan er zelfs eender welk positief reëel getal uit krijgen!

Een beetje slordiger genoteerd, maar misschien wel intuïtief: als ik van 1^+∞ een logaritme zou nemen krijg je

log(1^+∞) = +∞.log(1) = +∞.0

Van dit laatste wist je wellicht wel al dat het een onbepaaldheid is. Deze notatie moet je met een korrel zout nemen, want je mag natuurlijk niet zomaar 'rekenen' met oneindig.

Groeten
Tom