Wat is de ‘Meetkundige betekenis’ van een functie?

Ik weet niet in welke context je "meetkundige betekenis" en "wiskundige betekenis" precies gezien hebt, maar doe een poging om die te verklaren.

Met de wiskundige betekenis van een functie wordt volgens mij bedoeld wat die functie eigenlijk is: een input-output-machine die, gegeven een bepaalde input uit een verzameling A, een ondubbelzinnig vastgelegde output geeft in een verzameling B. De functie ²: x -> x² die een getal afbeeldt op zijn kwadraat, is bijvoorbeeld een functie. De afbeelding van de verzameling van alle koeien naar die van de landen die een koe afbeeldt op diens geboorteland, is evenzeer een functie. 

Als de verzamelingen A en B meer structuur hebben, kan er meer over functies gezegd worden. Als er bijvoorbeeld een afstand gedefinieerd is op A en B (zoals bij A = B = R), dan kan men uitdrukken wanneer een functie continu is. Als er een ordening gedefinieerd is op A en B (zoals bij A = B = R), dan kan men definiëren wat stijgend betekent voor een functie, of begrensd. Als er bijvoorbeeld een optelling en vermenigvuldiging met getallen uit een vast veld gedefinieerd is op A en B (zoals wanneer A en B vectorruimten zijn) dan heeft het betekenis om een afbeelding lineair te noemen, wanneer f(a+b) = f(a) + f(b) en f(c·a) = c·f(a) voor alle a en b in de vectorruimte en alle c in het veld.

De functie als input-output-machine, samen met zijn wiskundige eigenschappen, en een beetje intuïtie van wat hij precies doet, zou ik de wiskundige betekenis noemen.

Als A en B de reële-getallenverzameling R is (of een andere structuur die aan bepaalde eisen voldoet), dan heeft een functie ook een meetkundige of grafische betekenis. Je kan namelijk in het reële vlak R² voor elk punt x van R het punt met cartesische coördinaten (x,f(x)) tekenen. Zo krijg je een grote hoeveelheid punten in het vlak (genaamd de grafiek), die een bepaalde meetkundige figuur vormen. Zo kan de grafiek samenhangend zijn, maar hij kan ook bestaan uit meerdere stukjes kromme.

Interessant is de interactie tussen de twee begrippen die je aanhaalt in je vraag, want wiskundige betekenissen (die neergeschreven staan in symbolen) vertalen zich in meetkundige betekenissen (die je kan zien op de grafiek).

Als een functie de wiskundige eigenschap heeft van continu te zijn over heel R, dan zal de grafiek een samenhangende kromme zijn. Als een functie stijgend is, dan zal de grafiek omhoog gaan. Als een functie strikt stijgend is, dan zal de grafiek omhoog gaan en nooit blijven hangen. Als een functie een tweede afgeleide heeft die positief is (dat is een wiskundige betekenis), dan zal de grafiek hol zijn van bovenaf gezien (dat is een meetkundige betekenis). 

Voor de voorbeelden die ik aangeef is de wisselwerking goed gekend. In een meer abstracte theorie, die van de algebraïsche meetkunde, kan je de grafiek van een afbeelding ook definiëren. Vandaag de dag werken verschillende wiskundigen over de hele wereld op problemen in de algebraïsche meetkunde, die verband kunnen houden met de vraag die je stelde, maar dan in een abstracter kader.