Hoe construeer ik punten van een parabool m.b.v. bissectrices ?

Antwoord

Beste Floor,

Eigenlijk is een parabool per definitie die meetkundige plaats zodanig dat ieder punt op de parabool en diens afstand tot het brandpunt gelijk is aan de afstand tussen dat punt op de parabool en een vooraf gegeven rechte (Richtlijn of directrix). Als je die lijnstukken neemt (brandpunt-punt en rechte-punt), dan is de bissectrice van die hoek exact gelijk aan raaklijn in dat punt aan de parabool.

De constructie verloopt als volgt:

(1) Je kiest een brandpunt en je kiest een richtlijn (de directrix).

(2) Je verbindt brandpunt en richtlijn (neem een willekeurig punt op de richtlijn).

(3) Teken de middeloodlijn van die verbindingslijn. (Deze vormt de bissectrice).

(4) Teken de loodrechte op de directrix in het gekozen punt.

(5) Het snijpunt op de middeloodlijn met de rechte uit stap (4) ligt op de parabool.

Deze stappen kan je herhalen voor verschillende punten gekozen op de directrix en je krijgt verschillende punten op de parabool. In de bijgevoegde figuur, heb ik de constructiemethode eventjes geïllustreerd a.d.h.v. een eenvoudig voorbeeldje. Merk op dat je alleen die punten hoeft te bepalen aan de boven of onderkant t.o.v. het brandpunt aangezien de parabool volledig symmetrisch is t.o.v. de symmetrie-as bepaald door de loodlijn door het brandpunt met de richtlijn.

Verder wens je ook te bewijzen dat deze constructie de parabool construeert. Eigenlijk is er strikt meetkundig gezien geen bewijs nodig aangezien de parabool per definitie die meetkundige plaats is die de afstand tussen parabool-richtlijn en parabool-brandpunt gelijk houdt. Laten we toch een analytisch bewijs voeren.

Onderstel dat de richtlijn gekozen wordt evenwijdig met de y-as van het assenstelsel en het brandpunt in de oorsprong van het assenstelsel (dit kan steeds daar er vrije keuze van assenstelsel is). Zo zijn alle punten op de richtlijn geven door de coördinaten (-f,y) met y willekeurig. Merk op dat we kiezen dat de richtlijn zich links van de oorsprong bevindt zoals in de tekening (dit hoeft niet).

Nu kiezen we een punt P met coördinaten (x,y). De loodlijn vanuit punt p op de richtlijn wordt geven door het punt D met coördinaten (-f,y). Nu wensen we dat P zodanig gekozen wordt dat de afstand tussen P en D, en de afstand tussen P en het brandpunt O (de oorsprong) gelijk is. Analytisch betekent dit,

|PD|=|PO|
⇒(x+f)²=x²+y^2
⇒2fx+f²=y²
⇒x=(y²-f²)/(2f)

Dit is de parabool zoals beschreven in de figuur met zijn top in het punt (-f/2,0).

Ik denk dat dit je vraag beantwoordt.

Beste groet,

Kurt