Waarom kan men niet delen door nul? En hoeveel bedraagt de optelsom oneindig + 1?

Antwoord

1) Waarom kan je 12 delen door 3 ? Dat is omdat er een getal 4 bestaat zodat 3x4 weer 12 geeft. Dus A kan je delen door B, als er een C bestaat zodat B.C =A. Die C is dan ook het resultaat van A gedeeld door B.
Je kan dus A (verschillend van nul) niet delen door 0, omdat er geen getal C bestaat met de eigenschap dat 0.C = A. Er is dus geen kwotient bij deling door nul.
Het enige dat je wel kan doen is A delen een x waarbij x in limiet naar nul gaat. Een limiet nemen naar nul wil zeggen dat je x oneindig dicht bij nul laat naderen, zonder er echt in te komen. En omdat x zelf niet in nul komt kan je, terwijl de limiet wordt genomen wel nog steeds delen. Je kijkt dan wat dat kwotient doet terwijl x naar nul nadert. Omdat je steeds door minder en minder deelt zal het kwotient dus (als x nul nadert langs de positieve kant van nul, en als A zelf positief is) steeds groter en groter worden, en in limiet naar plus oneindig gaan.
Als x naar nul gaat, gaat de limiet dus naar oneindig. Maar je mag niet zeggen dat A/0 oneindig "is".

2) Ten eerste, er zijn verschillende gradaties van oneindig. De "kleinste" oneindig is deze van het aantal natuurlijke getallen of van het aantal gehele getallen. Men kan aantonen dat in beide gevallen de oneindigheid van dezelfde orde is. Het aantal reële getallen is ook oneindig, maar die oneindig is "nog veel groter" dan de oneindig van het aantal natuurlijke of gehele getallen.
Ik weet het, dat klinkt raar, maar dit is allemaal ontdekt en zwart op wit bewezen. Een pionier op dit gebied was de duitse wiskundige Georg Cantor.
Als we gewoon tellen met gehele getallen (zoals in uw vraag) gaat het dus over die "laagste" oneindig, die de wiskundigen Aleph-nul noemen.
Aleph-nul kan je niet als een echt gewoon getal zien zoals we dat in het gewone leven kennen. Het is eerder een "aantal", en als je bij een oneindig aantal nog eentje erbij doet, dan blijft dat dezelfde oneindig. Dus oneindig + 1 = oneindig.
Een leuke illustratie daarvan het "Hotel van Hilbert". Dat is een fictief hotel met aleph-nul kamers, dus oneindig veel. Stel nu dat het hotel helemaal vol zit. Alle kamers zijn bezet, en er komt nog een extra gast aankloppen. Dan kan je die toch nog herbergen want je vraagt gewoon aan alle reeds aanwezige gasten te verhuizen naar de volgende kamer. Elke kamer heeft immers een volgende want bij elk kamernummer kan je 1 optellen. De kamer met nummer nul komt dan vrij, en de extra gast heeft zijn kamer zonder dat iemand buitenvloog. Oneindig+1 = oneindig!