Wat is het nut van diagonaliseren van een matrix of wat zijn de toepassingen ervan?

De hele theorie achter eigenwaarden, eigenvectoren en diagonalisatie gaat vrij ver, ik zal me beperken tot wat algemene informatie en een voorbeeld van het praktisch nut van diagonaliseren.

Zoals je waarschijnlijk weet is het vermenigvuldigen van matrices een vrij 'lastige klus': het is immers niet gewoon element per element vermenigvuldigen maar een ingewikkeldere methode om het product van twee matrices te vinden. Ook wanneer je het product van een matrix met zichzelf zoekt, of hogere machten van een matrix, zit je met dat nogal vervelende matrixproduct.

Een geval waar dat helemaal niet zo lastig is, zijn de diagonaalmatrices; vierkante matrices met enkel nullen behalve op de hoofddiagonaal. De n^e macht van zo'n diagonaalmatrix bekom je door gewoon de n^e macht te nemen van elk element op de hoofddiagonaal; een heel stuk sneller en eenvoudiger dan die n^e macht via matrixvermenigvuldigingen uit te rekenen.

Het diagonaliseren van een matrix A betekent het vinden van een inverteerbare matrix P en een diagonaalmatrix D zodat A = P.D.P^-1, met P^-1 de inverse van P. Men kan bewijzen dat in dat geval de kolommen van P precies de eigenvectoren van A bevatten en de elementen van D de eigenwaarden zijn. Zo heb je alvast een praktische manier om een matrix te diagonaliseren.

We weten dat machten van D eenvoudig te berekenen zijn, maar hierdoor zijn ook machten van A handig te berekenen. Immers (P^-1.P = I_n, de eenheidsmatrix):

Aⁿ = (P.D.P^-1)ⁿ = P.D.(P^-1.P).D.(P^-1.P)...(P^-1.P).D.P^-1 = P.Dⁿ.P^-1

Je ziet dat we om Aⁿ te berekenen eigenlijk maar twee echte matrixvermenigvuldigingen moeten uitrekenen want Dⁿ is eenvoudig te berekenen aangezien D diagonaal is. Dit is alvast een heel nuttig wiskundig resultaat, maar het heeft ook praktische toepassingen.

Vele fenomenen of processen in andere wetenschappen, worden beschreven aan de hand van matrices. Tal van processen zijn van de volgende aard: een bepaalde toestand evolueert in de tijd en elke nieuwe toestand kan worden bekomen door een vector die de huidige toestand beschrijft te vermenigvuldigen met een zekere matrix A die de evolutie beschrijft; het resultaat is een vector met de nieuwe toestand.

Een concreet voorbeeld hiervan vind je bv. in de biologie, meer bepaald de populatiedynamica. De aantallen van zekere roofdieren en prooien in een ecosysteem kunnen soms op deze manier gemodelleerd worden zodat de verwachte aantallen op een volgend tijdstip gegeven wordt door de vermenigvuldiging van een overgangsmatrix met een vector die de aantallen op het huidige tijdstip bevat. Door herhaaldelijk met die overgangsmatrix te vermenigvuldigen, kan je de aantallen op langere termijn voorspellen maar hiervoor heb je hogere machten van die overgangsmatrix nodig. Maar net dat kan vrij eenvoudig als we die overgangsmatrix diagonaliseren; het laat toe de evolutie op langere termijn te voorspellen.

Je kan je inbeelden dat gelijkaardige modellen van toepassing zijn in vele andere takken van de wetenschap: overal waar een bepaalde toestand in een vector gegoten kan worden en de evolutie ervan gemodelleerd kan worden door vermenigvuldiging met een vaste matrix, kan op een gelijkaardige manier handig gebruikmaken van diagonalisatie.

Als je er met Google even gericht naar zoekt, vind je zeker een aantal concrete toepassingen.

Groeten

Tom