Een 3Dbol kun je zien als een verzameling cirkels met een gemeenschappelijk middelpunt. Kun je je een 4Dhyperbol(glome) ook voorstellen als een verzameling bollen met een gemeenschappelijk middelpunt?

Gijsen, 55 jaar
11 februari 2011

Antwoord

Je kan een bol maken door een cirkel te laten roteren rond een diameter. Een cirkel in het xy-vlak rond (0,0,0) kan je parametrisch schrijven als :

x = R cos a
y = R sin a
z = 0

waarbij a van nul tot 2pi loopt.
Door die cirkel om de x-as te laten wentelen, beschrijf je een boloppervlak. Zie bijgevoegde figuur waar de rode cirkel wentelt. Alle blauwe cirkels vormen samen een boloppervlak.

In drie dimensies wordt dat boloppervlak dan parametrisch

x =  R cos a
y =  R sin a cos b
z  = R sin a sin b

Hierbij dient a om door zo'n blauwe cirkel te lopen, en b bepaalt welke blauwe cirkel je hebt.

Merk ook op dat, als je bovenstaande formules links en rechts kwadrateert, en dan lid aan lid optelt, je inderdaad de vergelijking van een boloppervlak in 3D bekomt :

x2 + y2 + z2 = R2

Net zoals we een cirkel laten roteren rond (bijvoorbeeld) de x-as om een boloppervlak in 3D te bekomen, kunnen we in theorie een boloppervlak  laten roteren om een 4D-object te bekomen. We wentelen bijvoorbeeld rond het yz-vlak, hetgeen betekent dat de x-coordinaat wordt omgezet in een x-coordinaat plus een nieuwe u-coordinaat. Parametervergelijkingen worden nu :

x =  R cos a cos c
u = R cos a sin c
y =  R sin a cos b
z  = R sin a sin b

waarbij c van nul tot 2pi loopt. Ook andere rotaties zijn mogelijk. Voor elke constante waar van c krijg je een boloppervlak in vier dimensies. Ook hier kan je alle vergelijkingen links en rechts eens kwadrateren en dan lid aan lid optellen, en dan krijg je inderdaad :

x2 + y2 + z2 + u2= R2

dit is de vergelijking van een hyperboloppervlak in vier dimensies.

Dus, een boloppervlak kan je laten ontstaan door een cirkel te roteren, een hyperboloppervlak door een bol te roteren in 4 dimensies.



Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2025
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door Eos wetenschap. Voor vragen over het platform kan je terecht bij liam.verbinnen@eos.be