Bestaat er een getal, dat als je het omdraait en het grootste van het kleinste aftrekt, de uitkomst niet deelbaar is door negen?

Een getal dat je op die manier maakt, zal altijd deelbaar zijn door 9. In het algemeen ziet dat er misschien wat moeilijker uit om te bewijzen, maar het is eenvoudig te zien als we het voor een vast aantal cijfers doen.

Voor een getal dat maar uit één cijfer bestaat, noem het 'a', is het duidelijk dat omdraaien en aftrekken 0 geeft (a - a = 0), dus deelbaar door 9.

Om te kijken naar een getal dat uit twee cijfers bestaat, stel ik het voor als 'ab'.  Dit moet je niet zien als een product van a en b, maar een getal met cijfers a en b. Bijvoorbeeld 83 heeft a = 8 en b = 3. Dat getal is gelijk aan 10a+b want 10*8+3 = 83. Omdraaien geeft het getal 'ba' en dat is dus gelijk aan 10*b-a. Als we het nu niet proberen met 83, maar met zo'n willekeurig getal 'ab', dan geeft omdraaien en aftrekken het volgende:

'ab' - 'ba' = 10*a+b - (10*b+a) = 9a-9b = 9(a-b)

Je ziet dat dit duidelijk deelbaar is door 9, het quotiënt is namelijk a-b. Het is ook niet nodig om het kleinste getal per se van het grootste af te trekken, als je het omgekeerd doet is het resultaat negatief (zoals 38-83 = -45), maar dat is ook deelbaar door 9.

Je kan het op dezelfde manier eens proberen op te schrijven voor een getal van drie cijfers, noem het 'abc' en dan is het gelijk aan 100*a+10*b+c; nu omdraaien en aftrekken, dan wat vereenvoudigen zoals hierboven. Je zal zien dat het weer deelbaar is door 9, meer zelfs: door 99.

Groeten

Tom