Is oneindig keer 0 gelijk aan 1?

Antwoord

Het product van nul en oneindig is een onbepaaldheid. Dat betekent
- dat de waarde enkel bereikt kan worden in een limiet waarin (in dit geval) een product staat van twee functies waarbij een van de twee in limiet naar nul gaat, en de andere intussen naar oneindig gaat
- en dat de uiteindelijke limietwaarde zal afhangen hoe die nul en die oneindig precies bereikt worden.

In die limiet zit immers een soort conflict : de ene functie wil naar nul, en wordt tegengewerkt door de andere die naar oneindig wil. Wie de strijd wint hangt af van wie het snelst zijn doel kan bereiken. Of als ze "even sterk" zijn, zullen ze elkaar als het ware in bedwang houden en eindigen op een getal verschillend van nul en oneindig.

voorbeeld 1 :
Hoeveel is  x . cot(x)  voor x naderend naar 0?
Je ziet, x wordt nul, en de cotangens wordt oneindig
als je invult krijg je dus  :  nul  maal  oneindig
Als je de limiet uitrekent blijkt dat het resultaat 1 is.

Maar dat is niet altijd zo.

voorbeeld 2 :
Hoeveel is   x . e^-x    voor x naar plus oneindig
Als je invult krijg je  :  oneindig . nul
Maar als je nu de limiet effectief berekent blijkt het resultaat  nul  te zijn.

Besluit :
Dus nul x oneindig kan 1 opleveren, of nul, ...
Voor gelijk welk getal van -oneindig tot plus oneindig kan je wel een limiet van de vorm  nul x oneindig  vinden die naar dat getal gaat.

Maar eigenlijk mag je nooit zeggen dat nul x oneindig dan  "GELIJK IS AAN"   1 of aan nul, of wat dan ook. Dat is enkel in limiet het geval.

Andere bekende onbepaaldheden zijn bijvoorbeeld :
0 / 0          ∞ / ∞         ∞ - ∞        1^∞        0⁰         ∞⁰   
... in al die geval zal het concrete resultaat afhangen van de concrete limiet.