Wat is het nut van Poolvergelijkingen?

Antwoord

In heel wat practische toepassingen kan je zelf je coordinatensysteem kiezen. Afhankelijk van de eigenschappen van het problm dat je wil oplossen ga je zo'n keuze maken om het probleem zelf zo eenvoudig mogelijk te kunnen formuleren. Dit is niet alleen zo in het vlak, waar je kan kiezen tussen

cartesische coordinaten (x,y) of
poolcoordinaten (ρ,θ),

maar ook in drie dimensies

carterische coordinaten (x,y,z)
cilindrische coordinaten (ρ,θ ,z)
bolcoordinaten (ρ ,θ,φ)
(of nog andere)

Een paar voorbeelden :

cirkel rond de oorsprong in cartesische coordinaten : x^2 + y^2 = R^2
in poolcoordinaten :  ρ = R, dus een stuk eenvoudiger

maar een rechte die niet door de oorsprong gaat geeft een makkelijker vergelijking in cartesische coordinaten dan in poolcoordinaten.

Vb in drie dimensies

Neem de potentiele energie horend bij de gravitatiewet van Newton :
in bolcoordinaten : F = G . M . m / ρ
maar in cartesische : F = G . M . m / wortel(x² + y² + z²)
Door de bolsymmetrie van het gravitatieveld werk je hier beter met bolcoordinaten, want de potentiele energie hangt dan slechts van één enkele variabele af,in plaats van drie als je cartesische coordinaten zou gebruiken.

Je positie op aarde beschrijf je beter in bolcoordinaten dan in cartesische, want dan komen de twee hoeken van bolcoordinaten overeen met de westerlengte en noorderbreedte.

Maar in de melkweg gebruiken sterrenkundigen dan weer cylindercoordinaten, omdat die beter geschikt zijn, want ze leveren eenvoudiger formule op.

Dus, het hangt allemaal af van wat je wil doen. En omdat je en zekere vrijheid hebt kan je die vrijheid gebruiken om de berekeningen zo eenvoudig mogelijk te houden.