Wat voor betekenis heeft de snelheid in een momentopname (ogenblikkelijke snelheid)?

Antwoord

Ik leg eerst een en ander uit, en besluit met een concreet voorbeeld.

Je hebt gelijk als je zegt dat je snelheid kunt meten door gedurende een zekere tijd te kijken hoeveel je je verplaatst, en dan die verplaatsing te delen door de benodigde tijd. Je krijgt dan de gemiddelde snelheid over dat tijdsinterval. Stel, je rijdt met de fiets naar school, laat ons zeggen 5 km, en je doet dat 15 minuten over, dan is uw gemiddelde snelheid 20 km/u. In werkelijkheid doe je natuurlijk niet gans de tijd exact 20 km/u : je moet je eerst op gang trekken, bergop of bergaf gaat het wat trager of sneller, je staat misschien een paar minuten stil voor een gesloten overweg...
Om uw snelheid nauwkeuriger te kunnen volgen moet de over kleinere tijdsintervallen meten. Stel dat je elke minuut kijk hoever je geraakt, dan krijg je 20 snelheden die uw al een beter beeld zullen gegen van uw snelheidsverloop. Je hebt dan 20 gemiddelde snelheden, telkens over 1 minuut. Als je dat tekent op een tijdas, ga je een getrapte grafiek krijgen, met 20 trapjes op verschillende hoogtes.
Als je zou om de seconde uw positie opmeten, zou je een heel nauwkeurig snelheidsverloop  verkrijgen met een getrapte grafiek van 1200 stapjes, maar het is een blijft een getrapte grafiek.
Om nu de ogenblikkelijke snelheid te kennen moet je de verplaatsing meten gedurende een oneindig kleine tijdspanne. Dus een tijdspanne gelijk aan nul. Ook de verplaatsing zal dan natuurlijk nul zijn. Als je dan zegt : snelheid = verplaatsing / benodigde tijd  kom je in de problemen, want dan deel je nul door nul. Maar voor de wiskunde is dat geen probleem !

In de wiskunde betekent dit dat je een limiet moet nemen, je kijkt dus naar de verhouding afgelegde weg / benodigde tijd, in de limiet dat die tijd naar nul gaat. De limiet die je dan bekomt is een geval  "nul op nul", maar je weet uit je lessen wiskunde dat het resultaat van een geval "nul op nul" perfect een gewoon normaal getal kan zijn, en dat getal zal hier uw ogenblikkelijke snelheid zijn. In feite heb je de afgeleide van x(t) naar t bepaald.
Vergelijk het daarom het een richtingscoefficient in de meetkunde : om die te meten moet je een toename in y delen door een toename in x. Nochtans kan je ook in 1 punt van de richtingscoefficient spreken. Het is  dan de limiet van een oneindig kleine toename in y, gedeeld door de daarvoor benodigde oneindig kleine toename in x. Ook dat is een limiet nul op nul, maar toch is de richtingscoefficient een normaal eindig getal, namelijk de richtingscoefficient van de raaklijn in dat bepaald punt van de rechte.

Een voorbeeld : stel  x(t) = 0.2 t²
wat is de ogenblikkelijke snelheid op t = 3 ?

We doen dit door steeds nauwkeuriger te "meten", dus over een steeds kleiner tijdinterval.

Ik meet de gemiddelde snelheid tussen t = 3 en t = 4
Op t = 3 : x = 1.8 , en op t = 4 : x = 3.2
De gemiddelde snelheid tussen de 3de en 4de second is dus ( 3.2 - 1.8 ) / ( 4 - 3 ) = 1.4000 m/s

Doe nu hetzelfde tussen t = 3 en t = 3.1
gemiddelde snelheid is = 1.2200

Nu tussen t = 3 en t = 3.01 :  v = 1.2020

Nu tussen t = 3 en t = 3.001 : v = 1.2002

Hoe kleiner je het tijdsinterval kiest, hoe dichter uw snelheid bij 1.2 m/s zal convergeren.
In limiet ga je zou een ogenblikkelijke snelheid verkrijgen van 1.2 m/s

Als je al weet wat in de wiskunde een afgeleide is, kan je dat ook direct bekomen door de gebruiken dat v(t) de afgeleide van x(t) is.
v(t) =  d x(t) / dt = 0.4 t
en voor t = 3 vind je dan direct 1.2 m/s