Antwoord
Beste Bart,
Eerst en vooral ken je misschien de regel:
Een getal is deelbaar door 9 als de som van de cijfers van dat getal deelbaar is door 9.
Dit valt makkelijk aan te tonen door je getal te schrijven als Σk ak 10k (je werkt immers in het tientallig stelsel, bv 1233=1*10^3+2*10^2+3*10+3). Elke macht van 10 is echter te schrijven als een aantal negens +1 (bv 1000=999+1). Zo krijgen we
Het is duidelijk dat de eerste som een negenvoud is en bijgevolg krijgen we dat het getal deelbaar is door 9 precies als de som van zijn cijfers deelbaar is door 9.
bijvoorbeeld 1233=1*(999+1)+2*(99+1)+3*(9+1)+3=999+2*99+3*9+1+2+3+3=9voud+9.
en dus 1233 is een negenvoud.
Om dus op uw eerste vraag te antwoorden: Als u 9 maal een bepaald getal doet, dan hebt u een negenvoud en dus moet ook de som van de cijfers een negenvoud zijn.
Als we dit herhaaldelijk achter elkaar sommen nemen van de cijfers totdat we 1 cijfer overhouden zullen we dus steeds een 9 overhouden aangezien dit het enige cijfer is dat deelbaar is door 9.
Voor uw andere vragen is er misschien nog wat meer wiskundige achtergrond nodig:
Het truukje '1269'=9; '1245'=3 dat u toepast levert u uiteindelijk de rest van het getal bij deling door 9 op. (tenzij de rest 0 is, dan krijgen we 9 als uitkomst). Ook dit kunt u met de bovenstaande formule begrijpen.
Vermenigvuldigen we nu een rij opeenvolgende getallen met 8, krijgen we eigenlijk een rij 8-vouden van de vorm
a, a+8, a+16, ...
Als we echter naar de resten bij deling door 9 kijken, dan krijgen we
a, a-1, a-2...
Hierdoor zal ook het rijtje uitkomsten van uw berekening steeds eentje minder worden.
Vermenigvuldigen we nu een rij opeenvolgende getallen met 7, krijgen we eigenlijk een rij 7-vouden van de vorm
a, a+7, a+14, ...
Als we echter naar de resten bij deling door 9 kijken, dan krijgen we
a, a-2, a-4...
Hierdoor zal ook het rijtje uitkomsten van uw berekening steeds twee minder worden.
Gelijkaardige dingen gebeuren bij de andere cijfers.
Met de beste groeten,
Stijn Symens
Reacties op dit antwoord
Er zijn nog geen reacties op deze vraag.
Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.
