Antwoord
Beste Marianne
Laten we eerst naar een voorbeeld kijken: volgens de deelbaarheidsregel is 657 deelbaar door 3 omdat 6+5+7 = 12 deelbaar is door 3. Het getal 657 kunnen we ook als volgt schrijven met behulp van de cijfers 6, 5 en 7 waaruit het bestaat:
657 = 600 + 50 + 7 = 6*100 + 5*10 + 7*1
Nu herschrijf ik 6*100 als 6*(99+1) en 5*10 als 5*(9+1) en ik werk de haakjes uit:
657 = 6*99 + 6 + 5*9 + 5 + 7
De groene termen zijn deelbaar door 3, omdat ze een product zijn van een getal met 99 of 9, die beide duidelijk deelbaar zijn door 3. Het getal 657 is dus deelbaar door drie als de overige termen, precies 6+5+7, samen ook deelbaar zijn door 3.
We kunnen nu proberen dit iets algemener te noteren, ik doe het als voorbeeld voor een getal van 4 cijfers, een getal 'abcd'. Dit moet je dus niet zien als een product, maar een getal met cijfers a, b, c en d. Net zoals in het voorbeeld, is dit getal gelijk aan:
1000*a + 100*b + 10*c + d = 999*a + a + 99*b + b + 9*c + c + d
De groene termen zijn weer deelbaar door 3, 'abcd' zelf is dus ook deelbaar door 3 als a+b+c+d deelbaar is door 3. Je ziet dat je dit bewijs ook gemakkelijk kan veralgemenen naar een getal met een willekeurig aantal cijfers, meer dan 4. Je splitst een macht van 10 gewoon telkens op in 99...9 + 1.
Bovendien kan je de regel voor deelbaarheid door 9 op precies dezelfde manier aantonen, aangezien 9, 99, 999, ... ook deelbaar zijn door 9 en voor deelbaarheid door 9, die overblijvende som van de cijfers dus ook deelbaar moet zijn door 9.
Hopelijk is je vraag hiermee beantwoord, anders reageer je maar.
Groeten
Tom
Reacties op dit antwoord
Er zijn nog geen reacties op deze vraag.
Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.
