Is er algemene definitie te geven voor een fractaal?

Antwoord

(tussen haakjes, de definitie van een vierkant die u aangeeft klopt niet : ook een ruit heeft vier gelijk zijden, maar is niet noodzakelijk een vierkant.)

     Een goede website voor alles wat wiskunde is, is : http://mathworld.wolfram.com/
Daar definiëert men een fractal als een meetkundige figuur met een bepaalde soort van symmetrie, namelijk schaalsymmetrie (self similarity). Geheel strikt is deze definitie niet, maar ze is wel werkzaam. Heel wat gekende figuren zijn symmetrisch tegenover een punt of rechte, of als het over een 3-dim. figuur gaat tegenover een vlak. Zo is een vierkant symmetrisch voor een spiegeling tegenover een diagonaal, of tegenover zijn middelpun... Een cirkel tegenover elke rechte door zijn middelpunt, een parabool tegenover zijn as. Ook een kubus heeft tal van symmetrieën voor spiegelingen.
      Bij een fractal hebben we te maken met een ander soort symmetrie : we kunnen dan de figuur opdelen in een aantal kleinere stukken die elk een kopie zijn van het geheel. Neem de fractal van Koch (zie figuur 1). Je ziet hoe die ontstaat door op een lijnstuk steeds het middelste derde deel te vervangen door twee schuinstaande delen. Als je dit nu oneindig keer doet, en je verkleint de figuur met een factor 3, dan krijg een figuur die een exacte (verkleinde) kopie van de oorspronkelijke figuur, en die er vier keer in past. De totale lengte van de figuur is trouwens oneindig lang, want je bent vertrokken van een eerste lijnstuk, en bij elke stap de lengte met 4/3 vermengvuldigd. Als je iets oneindig keer met 4/3 vermenigvuldigd is het resultaat oneindig. Dus een kromme van lengte oneindig die toch in een eindig kadertje past, en zelfs het grootste deel ervan wit laat !
     Deze kromme is een fractal met perfecte schaalsymmetrie (self similarity) maar dat hoeft niet altijd zo te zijn, sommige fractals hebben een kwasi-perfecte symmetrie. In de kleinere delen vind je dan kopieën terug die ongeveer op het geheel gelijken, maar ook hier tot in het oneindige. Dat "oneindig" aspect maakt het juist een fractal.

    De naam fractal komt nu van het feit dat de dimensie (de Hausdorff dimensie) van zo'n fractal een niet geheel getal is !
    Neem eerst een kubus. De dimensie van een kubus is 3, het is immers een ruimtelijke figuur om even intuitief te redeneren. De typische grootte van een kubus wordt bepaald door de lengte van zijn ribbe. Stel nu dat je die ribbe 2x kleiner maakt, dan krijg je een kleinere kubus die 8x in de grotere past. Bij een schaalfactor 2 krijg je dus 8 kleineire kopijen. Merk op : 2³ = 8, of in het algemeen : schaalfactor tot de macht dimensie = aantal kopieën.
Probeer maar eens met een vierkant (= dimensie 2) dat je 3x kleiner maakt : het past dan 9 keer in het oorspronkelijke vierkant. Merk op : 3² = 9, dus weer :

schaalfactor tot de macht dimensie = aantal kleinere kopieen die er in passen

Of anders gezegd : dimensie = log(aantal kopieen) / log(schaalverkleining)

We passen dit nu toe op de kromme van Koch : als je die 3x kleiner maakt krijg je een figuur die 4x in de oorspronkelijk past. Dus :

dimensie(Koch)  =  log(4) / log(3) = 1.2619  !

de dimensie is dus geen geheel getal meer, maar een "gebroken" getal, een fractaal

Persoonlijk vind ik de "spons van Menger", genoemd naar de oostenrijk Karl Menger de mooiste. Deze fractal heet een dimensie 2.7268. Ze heeft een totale oppervlakte die oneindig groot is, maar een inhoud die nul is !
Zie voor een lijst van fractals volgens hun dimensie :
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_fractals_by_Hausdorff_dimension