Wat is het nut van de driehoek van Sierpinski en de Julia fractaal?

Antwoord

     Fractals zijn meetkundige figuren waarin een vorm van symmetrie zit. Maar dat is dan geen symmetrie tegenover een bepaald punt (zoals een cirkel tegenover zijn middelpunt) of een rechte (zoals een vierkant tegenover zijn diagonalen) of een vlak (zoals een kubus heel wat symmetrievlakken heeft). Neen, de symmetrie is hier een schaal-symmetrie : als je sommige fractale vormen in een aantal correct gekozen gelijke stukken deelt is elk stuk een exacte kopij van het geheel. Een voorbeeld hiervan is inderdaad de driehoek van Sierpinski. Bij andere fractals zie je ook steeds dezelfde structuur terug komen als je inzoomt, zelf al zou je tot in het oneindige inzoomen, zoals bijvoorbeeld bij de bekende Mandelbroth fractal, waar die appel-achtige vorm steeds opnieuw op een kleinere schaal blijkt in te zitten.
      Fractals worden op tal van plaatsen gebruikt, bijvoorbeeld in de biologie. In de natuur komen heel wat structuren voor die door middel van fractals kunnen gemodelleerd worden. Neem bij voorbeeld de spons van Menger (zie bijgevoegde foto). Het is een soortgelijke fractal als de driehoek van Sierpinski. Men start met een kubus die men in 27 kleinere kubussen verdeelt, in een 3x3x3 patroon. Dan verwijdert met van elk zijvlak de middelste kubus, alsook die ene kubus in het centrum. Op de 20 overgebleven kubussen doet met hetzelfde, en dit tot in het oneindige. Het resultaat is een vorm met een volume gelijk aan nul, maar een totale oppervlakte gelijk aan oneindig. De spons van Menger werd gebruikt in modellen van de lever en de long. Ga eens naar Google-afbeeldingen en tik de trefwoorden "fractal biology" in. Je ziet dan tal van fractale structuren in de biologie. Een directe toepassing van de driehoek van Sierpinski heb ik niet gevonden.
      Fractals worden ook gebruikt in de aardrijkskunde bij wiskundige modellen van een kustlijn. Een rotskust heeft een aantal grote inhammen, en in die inhammen vind je kleinere inhammen, en daarin kleinere rotspartijen, en daarin individuele rotsen, die op hun beurt.... Dit kan men beschrijven door middel van fractals.
     Fractals worden ook gebruikt bij beeldcompressie. Je weet wellicht van JPG-compressie is : een wiskundige techniek om beelden op een betrouwnbare manier te herrekenen zodat ze met veel minder geheugenruimte kunnen gestockeerd worden op een geheugenkaartje van bijvoorbeeld een digitaal fototoestel, of veel sneller over internet kunnen gestuurd worden. Ook MP3 is gewoon een kwestie van een heleboel wiskunde die maakt dat muziek efficienter kan worden bewaard. Er bestaan ook beeldcompressietechnieken die gebruik maken van fractals.

    Surf eens naar : http://library.thinkquest.org/26242/full/index.html
en dan links 'application'.