Waarom is a²+b² gelijk aan c² - de stelling van Pythagoras - maar is a³+b³ niet gelijk aan c³?

Antwoord

Je weet dat de stelling van Pythagors juist is voor 2de machten, daarvan kan je op interne tvoldoende bewijzen vinden. Daarover bestaat geen twijfel.

Hoe zit het nu, als je hetzelfde probeert met 3de machten in een rechthoekige driehoek ?
Ik toon aan dat dit tot een contradictie leidt.
   stel dat je een rechthoekige driehoek hebt met schuine zijde C, en rechthoekzijden A en B. Dan is het evident dat C>A en C>B, want een schuine zijde is immers steeds langer dan elk van de rechthoekzijden. Ook zijn A en B strikt positief, anders heb je geen driehoek.

Stel nu dat ook C³ = A³ + B³
Dan kunnen we schijven :

C.C² = A.A² + B.B²

en dus :

C ( A² + B² ) = A.A² + B.B²

We weten immers dat C² = A² + B²
Dat hebben we immers bewezen voor elke rechthoekige driehoek.

daaruit volgt :   ( C - A ) A²   = ( B - C ) B²

Dat is een contradictie want
1) links staat C-A en A² , en deze zijn beide strikt positief, dus het product in het linkerlid is strikt positief
2) rechts staat B-C en B²,   nu is B² wel strikt positief want het is een kwadraat, maar B-C is strikt negatief, want B<C   =>  dus het product in het rechterlid is strikt negatief

In een vergelijking kan natuurlijk niet aan de linkerkant van het gelijkheidsteken iets strikt positief staan, en aan de rechterkant van het gelijkheidsteken iets strikt negatief.
De veronderstelling met 3de machten is dus fout.

Deze redenering kan ook worden gebruikt voor 4de, 5de ,6de.... machten.
Neeneen, enkel de 2de machten zijn correct voor een rechthoekige driehoek.