Hoe moet je x^(x^2) afleiden ?

Tim, 20 jaar
21 augustus 2009

Op een lijst met oefeningen stond deze opgave. Als oplossing staat er:
x^((x^2) + 1) * (1 + 2 ln (x)). Hoe begin je daaraan? Ik ken geen enkele formule om dit direct af te leiden, dus vermoed ik dat er een trucje moet zijn om de opgave herschrijven...

Antwoord

Als je een functie van de vorm

h(x) = f(x) g(x)

wil afleiden zit je inderdaad met het probleem dat zowel f als g van x afhangen.
We zoeken dus in feite  h'
De truk om dit op te lossen is eerst links en rechts de natuurlijke logaritme te  nemen, en eraan te denken dat

ln (ab) = b . ln a

Dus :

ln h(x)  =  g(x) . ln f(x)

nu zijn we van die ambetante 'tot de macht' af, want de  ln  heeft er een gewoon product van gemaakt, en dat is zonder probleem af te leiden.
Dus : links en rechts afleiden :

h' / h  =  g ' . ln f  +  g . f' / f

zodat :

h' = h . ( g ' ln f  +  g . f' / f )

Vb : stel  h = x^(x^2)   m.a.w. :  f(x) = x , g(x) = x2

eerst schijven :  ln h  =  x2 . ln(x)

afleiden :  h' / h  =  2x . ln(x) + x2 / x  =  x ( 2 ln x +1 )

en nu de h uit de linkse noemer naar het rechterlid :

h' = x^(x2) . [ x ( 2 ln x +1 ) ]

als we nog even de  x net rechts van openende vierkante haakje meenemen in de macht vooraan :

h' = x^(x2+1) . ( 2 ln x +1 )

de oplossing is dus juist

Probeer zelf eens :  (x2)^sin(x)

antwoord : (x2)^sin(x) . [ cos(x) . ln(x2) + 2 sin(x) / x ]

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Beantwoord door

prof.dr. Paul Hellings

Vakgroep Wiskunde, Fac. IIW, KU Leuven

Katholieke Universiteit Leuven
Oude Markt 13 3000 Leuven
https://www.kuleuven.be/

Zoek andere vragen

© 2008-2024
Ik heb een vraag wordt geco├Ârdineerd door EOS vzw