Hoe moet je x^(x^2) afleiden ?

Antwoord

Als je een functie van de vorm

h(x) = f(x) ^g(x)

wil afleiden zit je inderdaad met het probleem dat zowel f als g van x afhangen.
We zoeken dus in feite  h'
De truk om dit op te lossen is eerst links en rechts de natuurlijke logaritme te  nemen, en eraan te denken dat

ln (a^b) = b . ln a

Dus :

ln h(x)  =  g(x) . ln f(x)

nu zijn we van die ambetante 'tot de macht' af, want de  ln  heeft er een gewoon product van gemaakt, en dat is zonder probleem af te leiden.
Dus : links en rechts afleiden :

h' / h  =  g ' . ln f  +  g . f' / f

zodat :

h' = h . ( g ' ln f  +  g . f' / f )

Vb : stel  h = x^(x^2)   m.a.w. :  f(x) = x , g(x) = x²

eerst schijven :  ln h  =  x² . ln(x)

afleiden :  h' / h  =  2x . ln(x) + x² / x  =  x ( 2 ln x +1 )

en nu de h uit de linkse noemer naar het rechterlid :

h' = x^(x²) . [ x ( 2 ln x +1 ) ]

als we nog even de  x net rechts van openende vierkante haakje meenemen in de macht vooraan :

h' = x^(x²+1) . ( 2 ln x +1 )

de oplossing is dus juist

Probeer zelf eens :  (x²)^sin(x)

antwoord : (x²)^sin(x) . [ cos(x) . ln(x²) + 2 sin(x) / x ]