Ik heb een vraag - homepage

Hoe bepaal je een stelsel cartesische vergelijkingen?

pijl12/04/2009 - Jeroen (22 jaar)

WiskundeContext van de vraag:

Door een punt p(1, -1, -2) van het oppervlak M:2xy=z gaan twee rechten die volledig in dit oppervlak gelegen zijn.
Hoe bepaal ik dan een stelsel cartesische vergelijkingen voor deze rechten?

Het zou iets moeten zijn door te vertrekken van een SPV (stelsel parameter vergelijking) van een willekeurige rechte die door p gaat.


Antwoord

Het oppervlak  z = 2xy  is een kwadriek. Er bestaan verschillende soorten van kwadrieken, maar sommige hebben de eigenschap dat door elk punt van het oppervlak minstens een rechte kan gevonden worden die volledig in het oppervlak ligt. Een kwadriek met die eigenschap noemt men een regeloppervlak.
De vergelkijking die uw geeft is zo'n regeloppervlak, meer bepaald een parabolische hyperboloide, ook zadeloppervlak genoemd. Een zadeloppervlak is dus een regeloppervlak. Door elk punt gaan twee rechten die volledig in het oppervlak liggen.

Nu wat betreft die rechten. Het is in de meetkunde vijwel altijd veel voordeliger een rechte te schrijven in parameter vorm, dus in de vorm :

x = x0 + a.t
y = xy + b.t
z = z0 + c.t

hierbij is (x0,y0,z0) een punt op de rechte, is (a,b,c) een richtingsvector. t is de parameter die alle waarden van min tot plus oneindig aanneemt. Voor elke t krijg je precies één punt op de rechte, en elk punt op de rechte stemt met precies één wwarde van t overeen. Een parametervorm kan "in twee lijntjes" worden opgezet in een cartesische vorm.

Een willekeurige rechte door het punt p uit uw vraag is dus van de vorm :

x = 1 + a.t
y = -1 + b.t
z = -2 + c.t

met a,b,c nog te bepalen zodat ze een rechte opleveren die in M ligt, en met als immer aanwezige voorwaarde dat ze niet samen nul mogen zijn (anders heb je immers geen richting meer over). Anderzijds zijn a,b,c wel bepaald op een onderling veelvoud na : de richting (2, 4,-1) is immers evenwijdig met bijvoorbeeld (20, 40, -10)

We willen nu dat die rechte volledig in M ligt. Dus moeten de coordinaten van de rechte aan de vergelijking van M voldoen :

-2 + c.t  =  2 ( 1 + a.t ) ( -1 + b.t )

Dit moet gelden voor alle waarden van t, omdat de volledige rechte in M moet liggen.

Dus, na wat termen te  herschikken :

2 a.b.t2  + ( -2a + 2b - c ) t  +  0 = 0

Om zeker te zijn dat dit nul is voor alle mogelijke reële waarden van t eisen we dat de coefficienten van t-kwadraat en van t beide nul zijn  :

a.b = 0

-2a + 2b - c = 0

Het is duidelijk dat a of b moet nul zijn wegens deze eerste vergelijking. Beide tegelijk nul kan echter niet want dan zou ook c nul zijn, en we weten dat a,b en c niet tegelijk mogen nul zijn.

(1) Eerste mogelijkheid : Kies   a = 0,
dan  is  b =1 of gelijk welk ander niet-nul getal    en verder =>  c = 2

Dit geeft een eerste rechte :

x = 1
y = -1 + t
z = -2 + 2t

(je ziet dat deze inderdaad voldoen aan M)  Om naar cartesische vorm te zetten moet je t elimineren. Dit geeft  de cartesische vergelijking

x = 1   en   z - 2y = 0

De rechte is hier niet cartesisch te schrijven in de vorm (x-x0) / a = (y-y0) / b = (z-z0) / c
omdat een van de richtingsgetallen nul is. Dit toont nog eens aan dat de parametervorm van een rechte te verkiezen valt boven een cartesische vergelijking.

(2)  Tweede mogelijkheid :   Kies :  b = 0,
dan  is  a =1 of gelijk welk ander niet-nul getak  en verder  =>  c = -2

Dit geeft een tweede rechte :

x = 1 + t
y = -1
z = -2 - 2t

(je ziet dat deze inderdaad voldoen aan M. Om naar cartesische vorm te zetten moet je t elimineren. Dit geeft  als cartesische vergelijking

y = 1 en z + 2x = 0

Ook hier : de rechte is hier niet cartesisch te schrijvein in de vorm
(x-x0) / a = (y-y0) / b = (z-z0) / c    omdat een van de richtingsgetallen nul is.


Deze vraag werd beantwoord door:
prof.dr. Paul Hellings
hoogleraar toegepaste wiskunde

GROEP T - Internationale Hogeschool Leuven
GROEP T - Internationale Hogeschool Leuven
 
Enkel de vraagsteller en de wetenschappers kunnen reageren op deze vraag en het antwoord.