Ik heb een vraag - Wat zijn fractalen?

Wat zijn fractalen?

20/05/2008 - Maxim (16 jaar)

Context van de vraag:

Ik zou graag weten fractalen zijn. Simpel uitgelegd.

mvg

Antwoord

Hoi Maxim,

Fractals zijn meetkundige figuren die een bepaald motief bevatten dat zich steeds op kleinere schaal herhaald. Als je een vergroting neemt van een stukje van een fractal dan zul je steeds dezelfde figuur terugvinden. Men noemt dit zelf-gelijkend.
De bekendste fractal is de Mandelbrotfractal. Dit is een ingewikkelde fractal die zich situeert in de complexe ruimte (dit is dus met een reëel en imaginair deel in de wiskundige vergelijkingen). Als je inzoomt op de zijkant van een Mandelbrotfractal, komen dezelfde vormen steeds terug (zie ook dit filmpje). De familie van Koch is een voorbeeld van een eenvoudiger fractal waar een lijnstuk herhaaldelijk in drie gelijke stukken wordt verdeeld en het middelste stuk omgevormd wordt tot een gelijkzijdige driehoek.
De lengte van een fractal is eigenlijk niet meetbaar (oneindig), maar de oppervlakte (van de gesloten kromme) wel (eindig). Om de structuur van een fractal te begrijpen, hebben wiskundigen het begrip ‘fractaldimensie’ bedacht. Verzamelingen waarvan de lengte bepaald kan worden, noemen we 1-dimensionaal, zoals bijvoorbeeld een lijnstuk of aan een cirkelboog. Verzamelingen waarvan de oppervlakte bepaald kan worden, noemen we 2-dimensionaa, zoals bijvoorbeeld vierkanten of ellipsen. Als we nu toelaten dat een fractal een dimensie tussen 1 en 2 heeft, dan kunnen we een maat maken waarmee de kromme gemeten kan worden. Zo heeft de Kochkromme dimensie 1,26. Aan deze gebroken, ook wel fractale (> latijnse fractus: gebroken), dimensie danken de fractals hun naam. Een relatief simpele fractal heeft een dimensie dicht bij 1, hoe moeilijker een fractal is, hoe dichter zijn dimensie bij de 2 ligt. De fractale dimensie van de Mandelbrotverzameling ligt veel dichter bij 2.
Fractals zijn zeer geliefde onderzoeksonderwerpen binnen de wiskunde, maar kun je op veel plaatsen in de natuur terugvinden zoals bijvoorbeeld een brocolli, sneeuwkristallen, zeegolven, varens,...
Dit is de meeste eenvoudige uitleg die ik voor een fractal kan geven, zonder al te diep in de wiskunde te gaan. Voor de wiskundige uitleg van fractals refereer ik liever naar uitstekende websites (een aantal voorbeelden in bijgevoegde links).
Google even op de term ‘fractalen’ of ‘fractals’ en je vindt een hele resem mooie kleurrijke afbeeldingen en - misschien minder interessant voor jou - de complexe wiskundige achtergrond.

Deze vraag werd beantwoord door:
lic. dr. Natuurkunde Natasja Duhayon
IP en octrooiverantwoordelijke