Ik heb een vraag - Wat is een driehoeksgetal?

Wat is een driehoeksgetal?

26/07/2010 - Koen (36 jaar)

Context van de vraag:

Hier en daar kom je nog wel eens wat uitleg tegen over driehoeksgetallen, vooral in oude wiskundige encyclopedieën.

Maar tegenwoordig wordt er blijkbaar alleen nog over hun "aanverwanten", de vierhoeksgetallen alias kwadraten gepraat.

Is het omdat ze minder wiskundig nut hebben dan de kwadraten? Of zijn er toch heel wat nuttige dingen af te leiden uit driehoeksgetallen.

Hoe definieer je eigenlijk een driehoeksgetal?

Antwoord

Beste Koen,

De driehoeksgetallen zijn de getallen die je kan bekomen door de som te nemen van de eerste n natuurlijke getallen voor een zekere n. Deze worden op deze manier gedefinieerd omdat dit precies overeen komt het aantal bollen dat we in een driehoek met zijde n bollen kunnen plaatsen. Als we T_n schrijven voor het n-de driehoeksgetal, dan krijgen we dus (zie ook link wikipedia)

$T_n= 1+2+3+ \dotsb +(n-1)+n = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2+n}{2} = {n+1 \choose 2} = \sum_{k=1}^{n}{k}$

15 is bijvoorbeeld een driehoeksgetal om dat 1+2+3+4+5=15 (denk maar aan de driehoek van rode ballen op een snookertafel, dit zijn er 15!

De driehoeksgetallen zijn dus 1,3,6,10,15,21,28,...

(Deze figuren komen van wolfram.com, zie ook link).

Als we het visuele in het achterhoofd houden kunnen we ook vierhoeksgetallen (kwadraten) vijfhoeksgetallen, zeshoeksgetallen, ... definiëren. De definitie spreekt voor zich uit de figuren.

Nog twee voorbeelden.

De vijfhoekige getallen zijn 1, 5, 12, 22, 35, 51, ...

De achthoekige getallen zijn 1, 8, 21, 40, 65, 96, 133,...

De driehoeksgetallen komen zeer regelmatig voor omdat die ook in de combinatoriek een bijzondere betekenis hebben. Indien we uit een verzameling van n mensen een koppel willen kiezen kunnen we dat precies op T_n-1 manieren.

Door uit 5 mensen te kiezen, kunnen we dus T₄ = 10 mogelijke koppels maken (Noem A,B,C,D,E de 5 mensen, dan krijgen we de koppels AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE).

Ziezo, hopelijk dekt dit de lading over wat je wilde weten.

Met de beste groeten,

Stijn Symens

Deze vraag werd beantwoord door:
dr. Stijn Symens
Praktijkassistent