Ik heb een vraag - Ik definieer een eskwa als een getal, dat je kunt schrijven als de som van twee kwadraten. Is de rij van eskwa's even grillig als de priemgetallen of valt er regelmaat in te ontdekken?

Ik definieer een eskwa als een getal, dat je kunt schrijven als de som van twee kwadraten. Is de rij van eskwa's even grillig als de priemgetallen of valt er regelmaat in te ontdekken?

04/04/2010 - Frank (64 jaar)

Context van de vraag:

Ik heb de (geordende) rij eskwa's proberen te onderzoeken maar ik kon niets interessants vinden.

Antwoord

Er is een groot verschil tussen de verdeling van de priemgetallen en die van uw eskwas. Je kan uw eskwas namelijk perfect voorspellen. Een eskwa wordt in feite bepaald door twee gehele getallen :

E(n,m)= n² + m²

welnu, als je bij E(n,m)   eens 2n+1 of 2m+1 optelt heb je er weer een. Anders gezegd:

E(n+1,m) = E(n,m) + 2n + 1
E(n,m+1) = E(n,m) + 2m + 1
en ook E(n+1,m+1) = E(n,m) + 2n +2m +2

met deze simpele regeltjes kan je de volledige verzameling eskwas vinden vertrekkend van E(1,1)

Bij de priemgetallen bestaat zo'n recursieve formule helemaal niet.

je ziet dat ook in deze tabel :

   n       0     1     2     3     4     5
m

0              0     1      4      9   16   25

1              1     2      5    10   17   26

2              4     5      8 13 20 29

3              9    10    13   18   25   34

4             16    17    20   25   32   41

5             25    26    29   34   41   50

Neem de eerste kolom : de verschillen tussen de getallen van boven naar beneden zijn 1, 3, 5, 7, 9, ... dus gewoon de oneven getallen. Maar dit geldt voor gelijk welke andere kolom, en ook als je naar verschillen kijkt binnen een vaste rij. Zo'n duidelijke structuur is totaal afwezig voor priemgetallen.

Uw eskwas zijn in feite niets anders dan de bekende pythagorische drietallen (a,b,c)
die voldoen aan a² + b² = c²
die c² zijn precies uw eskwas.
Ik denk, als je de vele gekende eigenschappen van pythagorische drietallen neemt, dan zullen er heel wat ook van toepassing zijn voor uw getallen. Als je eens op internet googelt vind je alle informatie over die drietallen en aanverwante groepen getallen.

Deze vraag werd beantwoord door:
prof.dr. Paul Hellings
hoogleraar toegepaste wiskunde

GROEP T - Internationale Hogeschool Leuven

Gerelateerde vragen

Wiskunde is pure regelmaat. Toch slaagt niemand er in het grillige karakter van de rij van priemgetallen te verklaren. Wat maakt dit zo'n speciale rij dat ze aan regelmaat doet ontsnappen ?

hoe komt het dat het verschil van de kwadraten van twee opeenvolgende strikt positieve reële getallen gelijk is aan de som van de twee grondtallen van die kwadraten

Indien je van een natuurlijk getal de som van de afzonderlijke cijfers neemt en deze som is deelbaar door drie, dan is het natuurlijk getal deelbaar door drie. Hoe valt dit te bewijzen?

Stuur dit antwoord naar een vriend

Deze pagina afdrukken

Enkel de vraagsteller en de wetenschappers kunnen reageren op deze vraag en het antwoord.